Définition de la fonction exponentielle

Définition

Il existe une unique fonction, notée \(\text{exp}\) , définie et dérivable sur  \(\mathbb{R}\) telle que  \(\text{exp}' = \text{exp}\)  et  \(\text{exp}(0)=1\) . Cette fonction est appelée fonction exponentielle.

Démonstration

On admet l'existence de la fonction exponentielle et on va prouver son unicité.

Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que  \(f' = f\)  et  \(f(0)=1\) . On démontre d'abord que \(f\)  ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\) , puis on raisonne par l'absurde en supposant l'existence d'une autre fonction vérifiant les mêmes propriétés et on aboutira à une contradiction.

1. La fonction \(\boldsymbol{f}\)  ne s'annule pas sur \(\boldsymbol{\mathbb{R}}\)
Soit  \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = f(x) f(-x)\) .
La fonction \(g\)  est dérivable sur  \(\mathbb{R}\)  en tant que produit de fonctions dérivables et, pour tout \(x\)  réel,  \(g'(x) = f'(x) f(-x)- f(x) f'(-x) = f(x) f(-x)- f(x) f(-x) = 0\) .
On en déduit que  \(g\) est une fonction constante. 
Or,  \(f(0) = 1\) , donc  \(g(0) = f(0) f(-0) = 1\) .
Comme \(g\) est constante sur \(\mathbb R\) , on en déduit que, pour tout \(x\) réel, \(g(x) = 1\) .
Ainsi, pour tout \(x\)  réel,  \(f(x) f(-x) = 1\) , ce qui permet de conclure que la fonction  \(f\)  ne s'annule pas sur  \(\mathbb{R}\) .

2. Supposons qu'il existe une fonction \(\boldsymbol{\bar{f}}\)  différente de \(\boldsymbol{f}\) telle que  \(\bar{f}' = \bar{f}\)  et  \(\bar{f}(0)=1\) .
D'après le résultat précédent,  \(f\)  et  \(\bar{f}\)  ne s'annulent pas sur \(\mathbb{R}\) . On peut alors définir la fonction \(h\) de la façon suivante : pour tout  \(x\) réel, \(h(x) = \dfrac{f(x)}{\bar{f}(x)}\) .
La fonction \(h\)  est dérivable sur \(\mathbb{R}\)  en tant que quotient, de dénominateur non nul sur \(\mathbb{R}\) , de fonctions dérivables et, pour tout  \(x\)  réel,   \(h'(x) = \dfrac{f'(x)\bar{f}(x) - f(x)\bar{f}'(x)}{(\bar{f}(x))^2}= \dfrac{f(x)\bar{f}(x) - f(x)\bar{f}(x)}{(\bar{f}(x))^2} = 0\) . 

On en déduit que \(h\)  est constante sur \(\mathbb R\) . 
Or,  \(f(0) = \bar{f}(0)= 1\) , donc  \(h(0) = \dfrac{f(0)}{\bar{f}(0)}= \dfrac{1}{1} = 1\) , ce qui implique que \(h(x) = 1\)  pour tout \(x\)  réel et on peut écrire, pour tout  \(x\) dans  \(\mathbb R\) ,  \(\dfrac{f(x)}{\bar{f}(x)} = 1\) c'est-à-dire,  \(f(x)=\bar{f}(x)\) .
Or, par définition de \(\bar f\) ,  \(f(x)\ne \bar{f}(x)\) pour tout \(x\) réel, on aboutit à une contradiction.

La fonction  \(f\)  vérifiant  \(f' = f\)  et  \(f(0)=1\) est unique et \(f=\text{exp}\) est donc bien la fonction exponentielle.